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Les mathématiques et la science rattrapent Le Livre d’Urantia « Dans l’état mortel, rien ne peut être absolument prouvé ; la science et la religion reposent toutes deux sur des hypothèses. (LU 103:7.10)
En 1935, cette affirmation ne pouvait être faite avec assurance que par une poignée de nos hommes les plus érudits.
Les bases de la pensée logique ont été posées par les Grecs dès l’Antiquité. Au départ, ils essayaient de formuler les principes directeurs du discours – qui se sont progressivement élargis à la logique aristotélicienne, cette dernière œuvre ayant prévalu pendant près de deux mille ans.
Isaac Newton a déclenché une révolution en faisant de la physique une branche des mathématiques. Pour les scientifiques, cela signifiait que la géométrie euclidienne, ayant pour fondement un ensemble d’axiomes tenus pour évidents et ne nécessitant pas de preuve formelle, était également une pierre angulaire de leur physique…
Un travail majeur visant à donner aux mathématiques une base plus fiable a été entrepris par l’éminent mathématicien allemand Gottleb Frege, qui avait déjà publié le premier volume d’un ouvrage très acclamé et dont le deuxième était prêt à être imprimé lorsqu’une courte lettre de Bertrand Russell a souligné ce qui semble être une question triviale et sans importance. L’ensemble de tous les ensembles est-il membre de lui-même ? Cette question apparemment anodine a complètement miné l’œuvre de Frege et l’a amené à admettre dans son deuxième volume que l’ensemble de l’ouvrage était désormais inutile.
Le suivant sur la liste des calamités similaires était Principia Mathematica, un énorme travail de Whitehead et Russell qui a apparemment trouvé un moyen de contourner le problème de Frege mais qui a ensuite été victime du travail de Kurt Godel en 1929. En effet, les travaux de Gödel signifient que tout système d’axiomes suffisamment complet pour être utile ne peut faire autrement que contenir des vérités indémontrables. Alors, comment pouvons-nous savoir si ce sont de vraies vérités ?
En pratique, cela signifie que chaque système doit être soumis à des tests expérimentaux rigoureux. Cela signifie également que nous n’avons aucun moyen de garantir qu’une faille n’apparaîtra pas dans le futur – nous ne pouvons jamais être absolument certains qu’elle n’apparaîtra pas.
Au cours des soixante-dix dernières années, Gödel n’a pas été contesté avec succès et, en fait, son travail a été à la fois étayé et étendu. Mais la réalité est que la grande majorité de ceux qui travaillent dans le domaine des sciences et des mathématiques ont choisi d’ignorer Gödel et de poursuivre le rêve d’une théorie unifiée finale rendu populaire au cours de plus de vingt années de recherches infructueuses par le grand Einstein.
Parmi les travaux relativement récents figurent ceux de Paul Cohen qui a étendu l’approche godélienne pour inclure la théorie des ensembles, et d’Alan Turing qui a découvert qu’il existe un problème « d’arrêt » avec les ordinateurs.
Turing a posé la question de savoir s’il existe ou non un moyen de prédire à l’avance si un programme informatique trouvera une réponse et s’arrêtera ou s’il continuera indéfiniment. Sa réponse était qu’il n’y avait aucun moyen de le savoir.
Outre ses ramifications théoriques plus profondes, ce problème d’arrêt apparemment simple, sans importance pour vous et moi, est certainement important pour l’administrateur qui a la tâche d’allouer du temps extrêmement coûteux sur son supercalculateur à ceux qui en ont besoin.
Parmi ceux qui ont cherché des réponses se trouve Gregory Chaitan, un mathématicien de recherche chez IBM qui a demandé s’il n’y avait aucun moyen d’obtenir une réponse par oui ou par non, existe-t-il au moins un moyen d’estimer la probabilité qu’un programme s’arrête ou ne s’arrête pas.
Chaitin a passé vingt ans à travailler sur ce problème avant de finalement trouver un nombre qu’il a appelé oméga ayant une valeur comprise entre 0 et 1 qui mesure cette probabilité. Mais, hélas, ses chiffres binaires se sont révélés aléatoires et indépendants.
Plus important encore que l’arrêt de l’ordinateur, le caractère aléatoire des chiffres de l’oméga de Chaitin impose des limites à ce que l’on peut savoir de la théorie des nombres, ce qui conduit à la conclusion que le caractère aléatoire est le véritable fondement des mathématiques.
Cela peut paraître tiré par les cheveux, mais après réflexion, c’est sûrement conforme à l’expérience. Un mathématicien l’exprime ainsi : « Cela signifie que quelques éléments mathématiques peuvent découler les uns des autres, mais dans la plupart des situations, ces connexions n’existeront pas. Tout ce qu’un mathématicien peut faire, c’est chercher à trouver les petits éléments qui sont liés entre eux, de sorte que les problèmes résolubles sont comme une petite île dans une vaste mer de propositions indécidables.
La base de la physique, en fait de toute science, ce sont les mathématiques. Par conséquent, les conclusions concernant le caractère non concluant des mathématiques se répercutent sur toutes les autres sciences – ce qui est peut-être ce que nous avons toujours su intuitivement.
Après tout, il y a bien plus à dire qu’à faire.
Anon.